🌖 Penyelesaian Persamaan Linear 3 Variabel Dengan Matriks

27 Sistem Persamaan Linear {untuk setiap dan dinotasikan oleh . (] dengan , , , disebut unsur diagonal utama. Matriks diagonal memiliki invers yang dapat dinyatakan sebagai [], yang memenuhi semua persamaan linear dalam sistem. Vektor yang demikian disebut sebagai vektor penyelesaian. (Leon 1998) Selain itu, SPL berukuran dapat ditulis dalam
Ada beberapa cara dalam menyelesaikan persamaan linier tiga variabel yaitu dengan menggunakan metode substitusi, eliminasi bertingkat ataupun gabungan eliminasi substitusi. Selain metode-metode tersebut, kita juga dapat menggunakan metode determinan matriks dalam menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variable. Salah satu aplikasi matriks adalah dalam menyelesaikan persamaan linier. Untuk itu, kali ini saya akan berbagi contoh cara menyelesaikan persamaan linier tiga variable dengan metode Determinan Matriks. Dalam hal ini, Determinan kita tentukan melalui metode Sarrus. Baiklah langsung saja kita bahas Contoh Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier tiga variable 2x + y + z = 12 x + 2y – z = 3 3x – y +z = 11 Jawab Pertama kita ubah bentuk sistem persamaan di atas kedalam bentuk matriks Kemudian kita tentukan determinan matriks D, Dx, Dy, dan Dz. Matriks D adalah matriks 3 x 3 yang elemen-elemennya terdiri atas koefisien-koefisien semua variabel persamaan. Matriks Dx adalah matriks 3 x 3 yang elemen kolom pertamanya merupakan konstanta persamaan, kemudian kolom kedua terdiri atas koefisien y, dan kolom ketiga terdiri atas koefisien z. Matriks Dy adalah matriks 3 x 3 yang elemen kolom pertamnya terdiri atas koefisien x, kolom kedua terdiri atas konstanta persamaan, dan kolom ketiga terdiri atas koefisien z. Sedangkan, matriks Dz adalah matriks 3 x 3 yang elemen kolom pertamanya terdiri atas koefisien x, kolom kedua terdiri atas koefisien y, dan kolom ketiga terdiri atas konstanta persamaan. Sehingga, Nilai x, y, dan z ditentukan dengan rumus Jadi, himpunan penyelesaianya adalah {3, 2, 4} Nah, sekarang cobalah dengan menyelesaikan soal berikut Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variable berikut 3x – y + 2z = 16 2x + y + z = 1 4x – 2y + z = 18 Pengertiansistem persamaan linear dua variabel (spldv), cara penyelesaian spldv (substitusi, eliminasi, gabungan), dan contoh soal cerita. Dengan demikian, bentuk contoh soal sistem persamaan linear dua variabel (spldv). Yunda mempunyai 4 buah semangka, 8 buah mangga dan 12 buah kelingking. Persamaan liniear dua variabel membentuk sistem 1 Sistem Persamaan Linier dua Variabel Salah satu diantara penggunaan invers matriks adalah untuk menyelesaikan sistim persamaan linier. Tentu saja teknik penyelesaiannya dengan aturan persamaan matriks, yaitu Selain dengan persamaan matriks, teknik menyelesaikan sistem persamaan linier juga dapat dilakukan dengan determinan matriks. Aturan dengan cara ini adalah Untuk lebih jelaxnya, ikutilah contoh soal berikut ini 02. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x – 3y = 8 dan x + 2y = –3 dengan metoda a Invers matriks b Determinan Jawab a Dengan metoda invers matriks diperoleh b Dengan metoda determinan matriks diperoleh 2 Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel. Sepeti halnya pada sistem persamaan linier dua variabel, menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variabel dengan matriks juga terdiri dari dua cara, yakni dengan menggunakan determinan matriks dan dengan menggunakan aturan invers perkalian matriks. Berikut ini akan diuraikan masing masing cara tersebut. Aturan menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan determinan matriks adalah dengan menentukan terlebih dahulu matriks koefisien dari sistem persamaan itu. Selanjutnya ditentukan empat nilai determinan sebagai berikut 1 D yakni determinan matriks koefisien 2 Dx yakni determinan matriks koefisien dengan koefisien x diganti konstanta 3 Dy yakni determinan matriks koefisien dengan koefisien y diganti konstanta 4 Dz yakni determinan matriks koefisien dengan koefisien z diganti konstanta Rumus masing-masingnya adalah sebagai berikut Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini 01. Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linier dibawah ini dengan menggunakan metoda determinan 2x – 3y + 2z = –3 x + 2y + z = 2 2x – y + 3z = 1 Jawab D = 223 + –312 + 21–1 – 222 – 21–1 – –313 D = 12 – 6 – 2 – 8 + 2 + 9 D = 7 Dx = –323 + –311 + 22–1 – 221 – –31–1 – –323 Dx = –18 – 3 – 4 – 4 – 3 + 18 Dx = –14 Dy = 223 + –312 + 211 – 222 – 211 – –313 Dy = 12 – 6 + 2 – 8 – 2 + 9 Dy = 7 Dz = 221 + –322 + –31–1 – –322 – 22–1 – –311 Dz = 4 – 12 + 3 + 12 + 4 + 3 Dz = 14 Persamaanlinear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan: 3x 1 + 4x 2 − 2x 3 = 5 x 1 − 5x 2 + 2x 3 = 7 2x 1 + x 2 − 3x 3 = 9 dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara Matematika Dasar » Sistem Persamaan Linear › Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Sistem Persamaan Linear Sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV adalah sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan di mana masing-masing persamaan memiliki tiga variabel. Kita dapat menyelesaikan SPLTV dengan dua cara yakni cara substitusi dan eliminasi. Oleh Tju Ji Long Statistisi Hub. WA 0812-5632-4552 Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan di mana masing-masing persamaan memiliki tiga variabel. Sama halnya pada sistem persamaan linear dua variabel SPLDV, kita dapat menyelesaikan atau mencari himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV dengan dua cara atau metode, yakni metode substitusi dan metode eliminasi. Metode Substitusi Berikut adalah langkah-langkah untuk menerapkan metode substitusi pada sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV Ubah salah satu persamaan pada sistem persamaan dan nyatakan \x\ sebagai fungsi dari \y\ dan \z\, atau \y\ sebagai fungsi dari \x\ dan \z\, atau \z\ sebagai fungsi dari \x\ dan \y\. Substitusi fungsi \x\ atau \y\ atau \z\ dari Langkah 1 pada dua persamaan lain sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua variabel SPLDV. Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel SPLDV tersebut. Kita telah membahas penyelesaian SPLDV, sehingga tidak akan dijelaskan lagi di sini. Contoh 1 Tentukan nilai \x\, \y\ dan \z\ dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut. Pembahasan Kita akan menggunakan metode substitusi dengan mengikuti langkah-langkah yang dijelaskan di atas. Langkah 1 Ubah persamaan pertama anda bebas mengubah persamaan manapun sehingga diperoleh \z\ sebagai fungsi dari \x\ dan \y\, yakni Langkah 2 Substitusi persamaan iv ke persamaan lain yakni persamaan dua dan tiga, lalu lakukan penyederhanaan. Kita peroleh Perhatikan bahwa kita telah memperoleh nilai \x\ dan \y\, yakni \x = -5\ dan \y = -3\. Dengan mensubstitusi nilai \x\ dan \y\ pada persamaan iv, kita peroleh nilai \z\ yakni Jadi, nilai \x, y\ dan \z\ yang memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah \x = -5, \ y = -3, \ z = 2\ atau kita nyatakan dengan \x,y,z= -5,-3,2\. Perhatikan bahwa dari Contoh 1, kita hanya menggunakan dua langkah dan berhasil mendapatkan nilai \x\ dan \y\ sehingga kita tidak memerlukan langkah 3. Ini hanya kebetulan saja. Sering kali, kita harus menggunakan langkah ketiga. Oleh karena itu, kita akan memberikan satu Contoh lagi. Contoh 2 Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV berikut ini dengan metode substitusi. Pembahasan Pertama, kita tentukan dulu persamaan yang paling sederhana dari ketiga persamaan yang ada. Dalam hal ini, persamaan pertama tampak lebih sederhana sehingga kita ubah persamaan pertama dan diperoleh \x\ sebagai fungsi dari \y\ dan \z\. Substitusi variabel \x\ dalam persamaan iv ke persamaan 2. Kita peroleh Substitusi variabel \x\ dalam persamaan iv ke persamaan 3. Kita peroleh Persamaan v dan vi membentuk sistem persamaan linear dua variabel SPLDV dalam variabel \y\ dan \z\, yakni Kita akan menyelesaikan SPLDV ini, sehingga diperoleh nilai untuk variabel \y\ dan \z\. Dari persamaan vi, kita peroleh Substitusi variabel \y\ ke dalam persamaan persamaan v, sehingga diperoleh Substitusi nilai \z = 7\ yang kita peroleh di atas ke salah satu persamaan SPLDV, misalnya \y - z = -4\. Kita peroleh Terakhir, substitusi nilai \y = 3\ dan \z = 7\ ke salah satu dari SPLTV, misalnya \ x-2y + z = 6 \ sehingga kita peroleh Jadi, nilai \x, y\ dan \z\ yang memenuhi SPLTV tersebut adalah \x,y,z = 5, 3, 7\. Metode Eliminasi Berikut adalah langkah-langkah yang diperlukan untuk menerapkan metode eliminasi Ambil sembarang dua persamaan dari tiga persamaan yang ada misal persamaan 1 dan 2, atau persamaan 1 dan 3 atau persamaan 2 dan 3. Lalu, menyamakan salah satu koefisien dari variabel \x\ atau \y\ atau \z\ dari kedua persamaan yang diambil dengan cara mengalikan konstanta yang sesuai. Setelah itu, eliminasi atau hilangkan variabel yang memiliki koefisien yang sama dengan cara menambahkan atau mengurangkan kedua persamaan sehingga diperoleh persamaan baru dengan dua variabel. Lakukan hal yang sama seperti Langkah 1 pada pasangan persamaan lain. Dari Langkah 1 dan 2, kita peroleh sistem persamaan linear dua variabel. Lalu, selesaikan SPLDV tersebut. Tuliskan penyelesaiannya dalam \x,y,z\. Contoh 3 Carilah nilai \x, y\ dan \z\ yang memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel berikut Pembahasan Kita akan menggunakan metode eliminasi dengan mengikuti langkah-langkah yang dijelaskan di atas. Langkah 1 Ambil dua persamaan yakni persamaan 1 dan 2. Karena koefisien variabel \z\ adalah sama, maka kita akan eliminasi variabel \z\ dengan cara menambahkan kedua persamaan tersebut sehingga diperoleh persamaan baru dengan dua variabel yakni \x\ dan \y\. Langkah 2 Ulangi Langkah 1 pada pasangan persamaan lain. Kita ambil pasangan persamaan 2 dan 3. Kita perlu eliminasi variabel z dengan cara mengalikan persamaan 2 dengan nilai 2 dan persamaan tiga dengan nilai 1, yakni Langkah 3 Dari Langkah 2, kita peroleh nilai \x = 5\. Dengan substitusi nilai \x\ ke persamaan iv kita peroleh nilai \y\, yakni Substitusi nilai \x\ dan \y\ pada persamaan 2 anda bebas memilih salah satu dari tiga persamaan yang diberikan pada soal. Kita peroleh Langkah 4 Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah \x,y,z = 5, 3, -1\. Cukup sekian ulasan singkat mengenai cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV dalam artikel ini. Terima kasih telah membaca artikel ini sampai selesai. Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, boleh dibantu share ke teman-temannya, supaya mereka juga bisa belajar dari artikel ini. Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.
Matriks& Ruang Vektor Persamaan Linear • Persamaan dimana variabel atau peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri, perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri • N buah variable x 1, x 2, , x n yang dinyatakan dalam bentuk : a 1 x 1 + a 2 x 2 + .+ a n x n = b dengan b, a 1, a 2,., a n adalah konstanta

DefinisiSistem Persamaan Linear Homogen. Suatu sistem persamaan linear disebut homogen jika konstantanya bernilai 0. Disini kita membedakan konstanta dan koefisien, dimana konstanta pada umumnya berada pada ruas kanan persamaan sedangkan koefisien “berdampingan” dengan variabel. Pada umumnya suatu sistem persamaan linear dapat

SistemPersamaan Linear (SPL) atau Sistem Linear adalah himpunan berhingga persamaan linear. Penyelesaian SPL dalam variabel x1, x2,, xn adalah barisan n bilangan s1 , s2,, sn yang memenuhi SPL (memenuhi semua persamaan linear yang membentuk SPL). Contoh 4.2 1. SPL : x + y + 2z = 9 2x + 4y - 3z = 1 3x + 6y - 5z = 0 Sistempersamaan linear homogen adalah sistem persamaan linear, di mana setiap persamaan memiliki konstanta 0. Sekar dan aira membutuhkan 15 menit untuk menyelesaikan pekerjaan. Metode penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel adalah : Sistem persamaan linear tiga variabel kata kunci : Bentuk umumnya adalah {a1x + b1y + c1z = 0 .